数学一答案 | 2026考研

一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分。

【答案】(A) \( \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a} \)

【答案】(D) \( (-1, 1) \)

【答案】(D) \( \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \) 在 \([-1,1]\) 单调递增时，\(f(x)\) 的图形在 \([-1,1]\) 是凹的

【答案】(C) \( \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{\pi}{4}} d\varphi \int_0^2 f(r^2) r^2 \sin\varphi \, dr \)

【答案】(B) \( A^{-1} \) 为置换矩阵

【答案】(A) \( Ax = \beta \) 有解，\( Bx = \beta \) 有解

【答案】(B) \( a = -4 \)，标准型为 \( -6y_1^2 - 6y_2^2 \)

【答案】(C) \( -1, 2 \)

【答案】(A) \( a = \delta \)，\( b = \mu \)

10.

【答案】(D) \( P\{X > m+n \mid X > m\} > P\{X > n\} \)

二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分。

11.

【答案】\( 1 + z \)

12.

【答案】\( \frac{1}{2} \)

13.

【答案】\( -\frac{\sqrt{2}}{8} \)

14.

【答案】\( 2\ln 2 \)

15.

【答案】\( a < 0 \)

16.

【答案】\( 4 \)

三、解答题：17~22小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.

【答案】\( f(-2,0) = 8e^{-2} \) 为 \( f(x,y) \) 的极大值

18.

【答案】(2) \( f(u) = e^{u-1} + e^{1-u} - u \)

19.

【答案】极大值为 \( f(-2,0) = 8e^{-2} \)

20.

【答案】\( \ln(2+\sqrt{2}) - \ln(1+\sqrt{3}) \)

21.

【答案】(1)

由 \( (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) \) 行简化得：

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

故 \( r(\alpha_1, \alpha_2) = r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = 2 \)，故极大线性无关组中有2个向量。

又由 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \) 均可由 \( \alpha_1, \alpha_2 \) 线性表示，故 \( \alpha_1, \alpha_2 \) 为向量组 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \) 的一个极大线性无关组。

【答案】(2)

\[ H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \]

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -8 & -9 & 9 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 9 & 10 & -10 \\ -1 & 7 & 8 & -8 \end{pmatrix} \]

22.

【答案】(1)(i)

\( f_T(t) = \frac{n}{\theta} e^{-\frac{n}{\theta} t}, \quad t > 0 \)；其他为0

(ii) \( a = n \)，\( D(\hat{\theta}) = \theta^2 \)

【答案】(2)

\( \hat{\theta} = \frac{1}{k} \left[ \sum_{i=1}^{k} t_i + (n-k) t_k \right] \)